智力题

Monty Hall Problem | 三门问题

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目 Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的概率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的概率是 1/3。换门的话，赢得汽车的概率是 2/3。

$$ P(汽车在 A 门|最初选择 A 门，主持人打开 B 门)=\frac{P(最初选择 A 门，主持人打开 B 门|汽车在 A 门)P(汽车在 A 门)}{P(最初选择 A 门，主持人打开 B 门)} \ P(汽车在 B 门|最初选择 A 门，主持人打开 B 门)=\frac{P(最初选择 A 门，主持人打开 B 门|汽车在 B 门)P(汽车在 B 门)}{P(最初选择 A 门，主持人打开 B 门)} \ P(汽车在 C 门|最初选择 A 门，主持人打开 B 门)=\frac{P(最初选择 A 门，主持人打开 B 门|汽车在 C 门)P(汽车在 C 门)}{P(最初选择 A 门，主持人打开 B 门)} $$

各个概率计算如下

$$ P(汽车在 A 门|最初选择 A 门，主持人打开 B 门)=\frac{(1/2)⋅(1/3)}{1/2}=\frac{1}{3} \ P(汽车在 B 门|最初选择 A 门，主持人打开 B 门)=\frac{0⋅(1/3)}{1/2}=0 \ P(汽车在 C 门|最初选择 A 门，主持人打开 B 门)=\frac{1⋅(1/3)}{1/2}=\frac{2}{3} $$