分治法
分治法 Divide and conquer
分治算法采取各个击破的方法，将一个规模为 N 的问题分解为 K 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。只要求出子问题的解，就可得到原问题的解。在编程过程中，经常遇到处理数据相当多、求解过程比较复杂、直接求解发挥比较耗时的问题。在求解这类问题时，可以采用各个击破的方法。具体做法是：先把这个问题分解成几个较小的子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个大问题的解。如果这些子问题还是比较大，还可以继续再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治算法的基本思想。
使用分治算法解题的一般步骤如下。
- 分解，将要解决的问题划分成若干个规模较小的同类问题。
- 求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决。
- 合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。
归并排序
分治算法的典型即是合并排序：
public class Merge {
// 不要在 merge 函数里构造新数组了，因为 merge 函数会被多次调用，影响性能
// 直接一次性构造一个足够大的数组，简洁，高效
private static Comparable[] aux;
public static void sort(Comparable[] a) {
aux = new Comparable[a.length];
sort(a, 0, a.length - 1);
}
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
if (lo >= hi) return;
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
sort(a, lo, mid);
sort(a, mid + 1, hi);
merge(a, lo, mid, hi);
}
private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
int i = lo, j = mid + 1;
for (int k = lo; k <= hi; k++)
aux[k] = a[k];
for (int k = lo; k <= hi; k++) {
if (i > mid) { a[k] = aux[j++]; }
else if (j > hi) { a[k] = aux[i++]; }
else if (less(aux[j], aux[i])) { a[k] = aux[j++]; }
else { a[k] = aux[i++]; }
}
}
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
}