线性代数

线性代数作为数学的一个分支，广泛应用于科学和工程中。

基础表示

标量（Scalar）

一个标量就是一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。当我们介绍标量时，会明确它们是哪种类型的数。

比如，在定义实数标量时，我们可能会说令$s \in \mathbb{R}$表示一条线的斜率；在定义自然数标量时，我们可能会说令$n \in \mathbb{N}$表示元素的数目。

向量（Vector）

一个向量是一列数，我们可以把向量看作空间中的点，每个元素是不同坐标轴上的坐标。这些数是有序排列的，通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比如$\mathbf{x}$，也可以加上箭头$\overrightarrow{\mathbf{x}}$。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量$\mathbf{x}$的第一个元素是$\mathbf{x}_1$，第二个元素是$\mathbf{x}_2$，等等。

我们也会注明存储在向量中的元素是什么类型的。如果每个元素都属于$\mathbb{R}$，并且该向量有$n$个元素，那么该向量属于实数集$\mathbb{R}$的$n$次笛卡尔乘积构成的集合，记为$\mathbb{R}^n$。当需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵列：

$$ \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \ {x_{2}} \ {\vdots} \ {x_{n}}\end{array}\right]

\

\overrightarrow{\mathbf{x}}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \ {x_{2}} \ {\vdots} \ {x_{n}}\end{array}\right] $$

有时我们需要索引向量中的一些元素。在这种情况下，我们定义一个包含这些元素索引的集合，然后将该集合写在脚标处。比如，指定$x_1$，$x_3$和$x_6$，我们定义集合$S={1,3,6}$，然后写作$x_S$。我们用符号$-$表示集合的补集中的索引，比如$x_{-1}$表示$\mathbf{x}$中除$x_1$外的所有元素，$x_{-S}$表示$x$中除$x_1$，$x_3$，$x_6$外所有元素构成的向量。

矩阵

矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素被两个索引（而非一个）所确定。矩阵$X \in \mathbb{R}^{m \times n}$可以表示为：

$$ X=\left[\begin{array}{cccc}{x_{1,1}} & {x_{1,2}} & {\cdots} & {x_{1, n}} \ {x_{2,1}} & {x_{2,2}} & {\cdots} & {x_{2, n}} \ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \ {x_{m, 1}} & {x_{m, 2}} & {\cdots} & {x_{m, n}}\end{array}\right] $$

简写为$\left(x_{i, j}\right){m \times n}$或者$\left[x{i, j}\right]_{m \times n}$。

我们在表示矩阵中的元素时，通常以不加粗的斜体形式使用其名称，索引用逗号间隔。比如，$A_{1,1}$表示$A$左上的元素，$A_{m,n}$表示$A$右下的元素。通常可以使用$:$来表示水平坐标，以表示垂直坐标$i$中的所有元素。譬如$A_{i,:}$表示$A$垂直坐标$i$上的一横排元素，也成为A的第$i$行。同理，$A_{:,i}$表示$A$的第$i$列（Column）。

张量

在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们称之为张量。张量往往用$\mathbf{A}$来表示，坐标为$i,j,k$的元素记为$A_{i,j,k}$。