Transformation

Basic of Transformation

首先用几个例子（摄像机在空间中的运动、机器人运动、视角变换）介绍一下为什么要用 Transformation，之后介绍几种二维上的基本变换。

平移变换，但通常在齐次坐标下进行。合在一起成为仿射变换：

3D 的缩放、镜像、切变基本和 2D 可直接类比。但是旋转会有一些麻烦。这是一种解决方案，将任意旋转分解为绕坐标轴旋转。并且这里需要注意坐标系，课程中使用的是右手坐标系，部分 API 和软件会使用左手坐标系。

Camera Transformation

三维摄像机有 7 个维度

• 位置：3 维
• 朝向：3 维
• 画面旋转：1 维

通常用三个向量进行对应

• 位置向量
• 朝向向量
• 上方向量（由于一定和朝向正交，所以会冗余 2 维）

正向考虑摄像机变换的矩阵是比较麻烦的一件事情：

但反向考虑则比较容易，所以可以通过反向考虑，配合矩阵求逆得到结果。

Projection Transformation

投影变换本身是一个降维变换，图形学中主要针对于将三维投影至二维：

3D 至 2D 的投影主要有两种：平行投影和透视投影：

平行投影的操作比较简单，直接丢掉坐标中的 Z 分量即可。

但通常需要 canonical，即首先将视图空间中心平移至原点，再缩放为标准正方体。

整理一下可知这一系列操作对应的矩阵。

透视投影本质上是将空间投影至一个点，但在过程中用一个平面（如胶片）截下。而对于透视变换，可以考虑将其先变换为平行，再用平行投影。

这个矩阵并不直观，但是可以通过设立条件对矩阵进行推导

• 胶片所在平面不发生变化
• 而远处的平面大小缩放至和胶片一样大，且中心对齐，但 Z 值不变